Логические задачи с ответами и разбором
Содержание
Ниже собраны девять логических задач с ответами: от разминки на пару минут до задачи, над которой многие сидят полчаса. Каждая решается рассуждением, без высшей математики. Ответ и короткое объяснение идут сразу после условия, поэтому прикройте их, пока думаете сами.
Задачи расположены по возрастанию сложности. Все ответы проверены перебором вариантов, а в условиях нет подвохов вроде игры слов: только то, что написано.
Простые логические задачи с ответами
Задача 1. Отец и сын
Сейчас отец в 4 раза старше сына. Через 20 лет он будет старше сына ровно вдвое. Сколько им лет сейчас?
Ответ: сыну 10 лет, отцу 40. Пусть сыну x лет, тогда отцу 4x. Через 20 лет: 4x + 20 = 2(x + 20), откуда 2x = 20 и x = 10. Проверка: через 20 лет им будет 30 и 60.
Задача 2. Продолжите ряд
Какое число следующее: 2, 6, 12, 20, 30, …?
Ответ: 42. Разности между соседними числами равны 4, 6, 8, 10, значит, следующая разность 12. Другой способ увидеть то же правило: каждый член равен n × (n + 1), то есть 1×2, 2×3, 3×4 и так далее, а шестой член равен 6×7.
Задачи на гарантию и на правду
Задача 3. Носки в темноте
В ящике 10 чёрных и 10 белых носков, свет выключен. Сколько носков нужно вытащить, чтобы наверняка получить пару одного цвета? А чтобы наверняка получить пару чёрных?
Ответ: 3 и 12. Цветов всего два, поэтому среди любых трёх носков два совпадут по цвету. Для чёрной пары нужно учесть худший случай: сначала попадутся все 10 белых, потом 2 чёрных, итого 12.
Задача 4. Рыцарь и лжец
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Житель A говорит про себя и соседа B: «Мы оба лжецы». Кто есть кто?
Ответ: A лжец, B рыцарь. Рыцарь не может назвать себя лжецом, значит, A лжец и его фраза ложна. Раз «оба лжецы» неверно, а A точно лжец, то B рыцарь. Такие задачи популяризировал логик Рэймонд Смаллиан.
Как перевезти и как отмерить?
Задача 5. Волк, коза и капуста
Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодку помещается он сам и ещё что-то одно. Без крестьянина волк съест козу, а коза съест капусту. За сколько рейсов можно управиться?
Ответ: за 7 рейсов. Сначала везём козу и возвращаемся пустым. Затем везём волка, а обратно забираем козу. Оставляем козу, везём капусту к волку, возвращаемся пустым и последним рейсом перевозим козу. Перебор всех состояний показывает, что быстрее нельзя.
Задача 6. Четыре литра
Есть кран и два пустых сосуда: на 3 и на 5 литров. Как отмерить ровно 4 литра?
Ответ: за 6 действий. Наполнить пятилитровый, перелить из него 3 литра в малый (в большом осталось 2). Вылить малый, перелить в него эти 2 литра. Снова наполнить большой и долить малый доверху: уйдёт 1 литр, в большом останется 4.
Задачи на взвешивание и логику островитян
Задача 7. Фальшивая монета
Из 9 одинаковых на вид монет одна фальшивая, она легче остальных. Как найти её за два взвешивания на чашечных весах без гирь?
Ответ: делим монеты на три кучки по три. Кладём две кучки на весы: если одна легче, фальшивка в ней, если равновесие — в третьей. Из подозрительной тройки кладём на чаши по одной монете. Более лёгкая и есть фальшивая, а при равновесии фальшивка та, что осталась на столе. Проверка всех девяти вариантов подтверждает, что способ работает всегда.
Задача 8. Три жителя острова
На том же острове рыцарей и лжецов A говорит: «B — лжец». B говорит: «A и C одного типа». Кто такой C?
Ответ: C лжец. Если A рыцарь, то B лжец, его слова ложны, и C отличается от A, то есть лжец. Если A лжец, то B рыцарь, его слова верны, и C такой же, как A, то есть снова лжец. Про A и B определить нельзя, а про C ответ однозначен.
Самая трудная: мост и фонарик
Задача 9. Четверо у моста
Ночью четырём людям нужно перейти мост. Одновременно на нём помещаются не больше двух человек, и идти можно только с единственным фонариком. Поодиночке они проходят мост за 1, 2, 5 и 10 минут, пара идёт со скоростью более медленного. Можно ли уложиться в 17 минут?
Ответ: да, ровно в 17. Идут 1 и 2 (2 минуты), 1 возвращается (1). Идут 5 и 10 вместе (10), 2 возвращается (2). Идут 1 и 2 (2). Итого 17. Если же самый быстрый провожает каждого по очереди, выйдет 19 минут. Ключевая идея — отправить двух самых медленных одной парой.
Как решать логические задачи?
У классических задач повторяются приёмы, и, освоив их, вы будете узнавать знакомую схему в новых условиях.
- Выпишите условия. Короткая запись «A лжец → B рыцарь» снимает половину путаницы.
- Разберите худший случай. В задачах на «наверняка» нужен вариант, при котором вам меньше всего везёт.
- Перебирайте гипотезы. Предположите, что житель рыцарь, и проверьте, не возникнет ли противоречия.
- Считайте состояния. В переправах и переливаниях полезно записывать, что где находится после каждого шага.
- Делите на три. Взвешивание даёт три исхода, поэтому выгодно делить предметы на три группы.
Подобные задачи хорошо дополняют упражнения из подборки головоломок для тренировки памяти: логика учит рассуждать, а память — удерживать в голове условия. Если интересно, откуда взялись такие сюжеты, загляните в историю кроссвордов и головоломок, а тем, кто любит решать руками, подойдут механические головоломки.
Частые вопросы
С чего начать, если логические задачи даются тяжело?
Начните с задач на возраст и числовые ряды: в них одно правило и короткая проверка, а потом переходите к рыцарям и переправам.
Почему в задаче про монеты кучки делят на три, а не на две?
У чашечных весов три исхода: левая чаша легче, правая легче или равновесие, поэтому деление на три группы даёт больше информации за одно взвешивание.
Может ли у числового ряда быть несколько ответов?
Формально да, любой ряд можно продолжить по разным правилам, поэтому правильным считают самое простое правило, которое объясняет все данные числа.
Как проверить свой ответ в задаче про рыцарей и лжецов?
Подставьте найденные роли обратно: каждое высказывание рыцаря должно быть истинным, а каждое высказывание лжеца ложным.
Сколько времени тратить на одну задачу?
Разумно дать себе 10–15 минут, а затем посмотреть объяснение и попробовать решить похожую задачу самостоятельно.